第246章 函数之妙－－lnxx续 (第1/6页)
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《246函数之妙——lnxx（续）》
夫函数lnxx，其魅力无穷，如璀璨之星，照亮数学之苍穹。前文已详述其特性、应用及意义，今当更进一步，深入探索其更为深邃之奥秘。
且说有一智者，名曰文，常游于学林之间，与诸学子共探数学之妙。文善启学子之智，引其深入思考，学子们亦对文敬重有加，常围而请教。
一、函数的高阶导数
1。一阶导数的再审视
回顾f（x）=lnxx的一阶导数f（x）=（1-lnx）x2，其在确定函数单调性方面发挥了关键作用。当0＜x＜e时，f（x）＞0，函数单调递增；当x＞e时，f（x）＜0，函数单调递减。此乃函数变化之根本规律，然仅止于此，尚不足以尽显其精妙。
学子甲曰：“先生，此一阶导数之变化，吾辈已明了，然其深意何在？”文笑而答曰：“此一阶导数，乃函数变化之关键。如行军之帅，引领函数之增减。当f（x）＞0时，函数如勇进之师，气势如虹；当f（x）＜0时，函数似退避之卒，渐趋平缓。汝等当细思其变，方能悟函数之真谛。”
2。二阶导数的推导与分析
求f（x）的二阶导数f（x）。对f（x）=（1-lnx）x2求导，根据求导法则可得：
f（x）=[（1-lnx）x2-（1-lnx）（x2）]x?
=（1x*x2-（1-lnx）*2x）x?
=（x-（1-lnx）*2x）x?
=（x-2x+2xlnx）x?
=（2xlnx-x）x?
=（2lnx-1）x3。
分析二阶导数的意义：二阶导数反映了函数的凹凸性。当f（x）＞0时，函数图像为凹；当f（x）＜0时，函数图像为凸。
令f（x）=（2lnx-1）x3＞0，即2lnx-1＞0，2lnx＞1，lnx＞12，解得x＞√e。
故当x＞√e时，函数f（x）=lnxx为凹函数；当0＜x＜√e时，函数为凸函数。
学子乙疑惑道：“先生，此凹凸之性，于实际有何用焉？”文曰：“此凹凸之性，用处甚广。如在工程设计中，可依此判断结构之稳定性；在经济领域，可借此分析市场之走势。汝等当结合实际，深思其用。”
3。高阶导数的探索
继续求函数的三阶导数、四阶导数…
