第249章 函数之妙－－xe＾x续 (第1/6页)
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《249函数之妙——xe^x（续）》
一日，众学子再度齐聚，戴浩文先生神色肃然，缓缓开口道：“前番吾等探讨函数f（x）=xe^x，今日吾将深入剖析，以启汝等之智。”
学子们皆正襟危坐，洗耳恭听。
“且论此函数之对称性。细察之，虽此函数无明显轴对称或中心对称，然可通过变换探寻其潜在对称之性。设t（x）=-xe^（-x）=xe^x，与原函数f（x）=xe^x相较，二者看似无直接对称关系。然若深入分析其导数，t（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，f（x）=（1-x）e^x，虽导数不同，但亦可从中窥探其变化之规律差异，为进一步理解函数性质提供新视角。”
学子甲问道：“先生，此对称性之探寻有何深意？”
戴浩文先生答曰：“对称性之研究可助吾等更全面地认知函数之特征。虽此函数无传统之对称，然通过此类分析，可拓展思维，洞察函数间之微妙联系。于实际问题中，或可借此发现不同情境下之潜在规律，为解决复杂问题提供新思路。”
“再观函数之复合。设u（x）=（xe^x）^2，此乃函数f（x）=xe^x之自复合。求其导数，u（x）=2*（xe^x）（1-x）e^x=（2x（1-x））e^（2x）。分析此导数，可判u（x）之单调性与极值。当2x*（1-x）＞0，即0＜x＜1时，u（x）＞0，u（x）单调递增；当x＜0或x＞1时，u（x）＜0，u（x）单调递减。故函数u（x）在（0，1）单调递增，在（-∞，0）与（1，+∞）单调递减。且当x=0或x=1时，取得极值。”
学子乙疑惑道：“先生，此复合函数有何用处？”
先生曰：“复合函数之研究可丰富对原函数之理解。于实际问题中，若函数关系较为复杂，常涉及复合之情形。通过分析复合函数之性质，可更好地把握整体变化规律，为解决实际问题提供有力工具。”
“又设v（x）=e^（xe^x），此为以原函数为指数之复合函数。求其导数，v（x）=e^（xe^x）*（1-x）e^x。分析其导数之正负，可判v（x）之单调性。当1-x＞0，即x＜1时，v（x）＞0，v（x）单调递增；当x＞1时，v（x）＜0，v（x）单调递减。故函数v（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减。”
学子丙问道：“先生，此复合函数与前
